ещё актуально?

@jtootf Уже не так актуально, но по-прежнему интересно.

@jtootf Не всё. Что значит 1H? H — это <2>, ок, а 1H — это C6-<2> что ли? Она будет группой вообще?

@goren это класс смежности, 1+H в аддитивной записи. он был бы подгруппой, если бы в нём был нейтральный элемент

@jtootf Ну ок, разделили C6 на H и 1+H, дальше что с этим делать?

@goren ну тут факторизация, обратный процесс. диаграмму Кэли построения произведения я просто не нашёл. в данном случае (при факторизации) мы находим смежные классы (копии одной из групп) и их сплющиваем. при произведении наоборот - подставляем копии одной группы вместо элементов второй; итого на месте каждого элемента теперь копия группы, на которую было умножение

@jtootf ну, например. берёшь C2 и умножаешь её на C4. вместо каждого элемента C2 теперь копия C4; одна из копий содержит единицу и является подгруппой, вторая - просто класс смежности. соединяешь элементы копий C4 по правилам C2 - получаешь C2 x C4

@jtootf клавная идея - что в прямом произведении содержатся копии (точные) обеих исходных групп, причём их количество зависит от элементов второй участвующей в умножении группы

@goren http://books.google.com.ua/books?id=T_o0CnMZecMC&pg=PA118&lpg=PA118&dq=direct+product+of+groups+visual&source=bl&ots=VIEGBUAhEp&sig=M604K7u4FDjNC0cb0aR_NFKfd2I&hl=en&sa=X&ei=4z50UsnFGYzV4ATJ8oG4AQ&ved=0CCcQ6AEwAA#v=onepage&q=direct%20product%20of%20groups%20visual&f=false - картинки! к слову, следующая глава там как раз про полупростые произведения. всей разницы что в полупростых произведениях вместо точных копий - неточные (с перестановкой стрелок)

@jtootf То есть, C2 × C4 будет состоять из {1, x, x², x³} и {x, x², x³, x^4}? А что дальше с этим делать? Что значит "соединить по правилам C2"?

@goren ты с диаграммами Кэли работал? у тебя есть некоторое подмножество генераторов и правила умножения элементов на них, на диаграмме они представляются стрелками (разные цвета - разные генераторы). но начать стоит с того, что твои группы нециклические - x³ * x != 1, и x^4 * x != x, и классы смежности составлены неправильно

@goren хотя я идиот, конечно, погоди

@jtootf С же обычно и означает циклические группы? То есть, C4={1, x, x², x³}, мы одну копию "умножаем" на 1, другую на x. Или я чего-то не понял?

@goren ок, давай так. C4 = {1, x, x², x³}, C2 = {1, y}. две копии (два смежных класса) - это C4 и C4y = {y, xy, x^2y, x^3y}. переходы внутри каждого смежного класса - слева направо по генератору x; между смежными классами - поэлементно сверху вниз по генератору y. т.е. x^3y * y = x^3, например

@jtootf Понятно, и это будет прямое произведение?

@goren да. в прямом произведении оба фактора всегда являются нормальными подгруппами, и по ним произведение можно факторизовать

@goren в полупрямом произведении всё почти так же, но место точных копий занимают rewirings: копии групп с перенаправленными стрелками (в смысле диаграммы Кэли). например, из {1, x, x^2} с генератором x может получится {1, x^2, x} с генератором x^2. алгебраически ничего не поменялось, но результирующее произведение (в силу иных отношений между элементами) отличается от прямого

@jtootf и это, кстати, S3

@jtootf Кажется врубился. Жаль, что не врубился два года назад, но лучше поздно, чем никогда…

@goren крайне рекомендую рассмотреть анатомию небольших групп графически, на диаграммах Кэли. понаходить прямые, полупрямые произведения, knit products, пофакторизовать. три-четыре примера - и понимание закрепляется

@jtootf Жаль, что ты так редко пишешь. Я бы мог многому у тебя научиться.

спасибо!

вот, кстати, любая диэдральная группа D₂n ~ C₂ ⋉ Cn (что вполне естественно, учитывая действие D₂n как группы симметрии отражениями и поворотами). тут вот хорошие примеры, наглядные: http://en.wikipedia.org/wiki/Semidirect_product