Навскидку подумалось про десятичные дроби.

А на деле все просто: берем рациональные а и b: a<b, потом (a+b/2)+E*sqrt(2), где Е - эпсилон, бесконечно малая. Как вам такое доказательство?

@cookie поправочка: ((a+b)/2)+E*sqrt(2)

@cookie Можно так, да. Только не "бесконечно малая", а просто число, которое заведомо меньше чем a или b. Но через десятичные дроби как-то нагляднее получается.

@goren а как через десятичные дроби? там получается что между 0,1 и 0,2 можем поставить 0,1(1) если не строго формулировать?

@cookie Ну, любое рациональное число — это либо конечная, либо периодическая десятичная дробь. А иррациональное число — бесконечная и непериодическая. То есть, если есть десятичные представления для a и b, они будут отличаться начиная с n-ного знака, а мы можем взять бесконечную десятичную дробь, которая с (n+1)-ого знака будет больше a и меньше b. Не знаю, понятно ли написал.

@goren изложил понятно, спасибо. но мне первый вариант больше нравится.

@matimatik уже доказали, спасибо