@matimatik основной вопрос: существует ли (с точностью до изоморфизма) такая алгебра над (фиксированным, можно принять за R) полем, что из любой другой алгебры над тем же полем существует ровно один морфизм до неё? в категории множеств это одноэлементное множество

@matimatik единственный имеющийся у меня кандидат на эту роль - 0, 1-элементная алгебра размерности 0. но есть сомнения

@matimatik ну, вообще действительно похоже на то. более того, если рассматривать категорию произвольных алгебр, то 0 будет в точности нулевым объектом; а вот в подкатегории алгебр с делением не будет ни инициального, ни терминального объектов

@jtootf А как она над полем может быть без деления?

@goren легко. например, алгебра двойных чисел ({1, e}, {e * e = 1}) является вещественной алгеброй без деления (так как содержит делители нуля)

@jtootf Ну так там же не поле.

@goren с каких пор R перестало быть полем? я тебя не понимаю

@jtootf {1.e} не поле и не в R вроде. Или в категорию алгебр над полем входят в том числе и разные другие алгебры, в том числе над подмножествами, которые уже не поля? Не понимаю этого момента.

@goren a division algebra is, roughly speaking, an algebra over a field, in which division is possible. вот C, например, это алгебра с делением над полем R. а C' (двойные числа) - алгебра без деления над полем R. {1, e} - это базисные элементы векторного пространства, а скаляры берутся из R (которое, естественно, поле)

@jtootf И они входят в ту же категорию? То есть, и всякие R^n тоже?

@goren в какую ту же? категория алгебр с делением является подкатегорией алгебр над полем. ну то есть да, любая алгебра над полем в ходит в категорию алгебр над полем (иначе я бы уточнил)

@jtootf Тогда инициальный объект будет типа R^0, в которой один элемент, так что ли?

@goren да. одновременно инициальный и терминальный, сиречь нулевой (zero object)